Como matemáticos estão começando a desvendar um dos maiores mistérios da ciência moderna

Na tarde de 30 de setembro de 1906, uma multidão de 200.000 parisienses se reuniu perto do centro da cidade para assistir à estreia do que se tornaria a corrida de balões a gás mais prestigiada do mundo. Dezesseis dos maiores aeronautas vivos, vindos de sete países, pretendiam viajar o mais longe possível antes de pousar, com nada além de uma válvula de liberação de hidrogênio para controlar suas aeronaves.

Quando os balões amarelos e âmbares, cada um com mais de 15 metros de altura, foram lançados, o clima não poderia estar mais calmo. Mas depois que o sol se pôs e os espectadores se dispersaram, os ventos mudaram, espalhando violentamente os balões pela Normandia e através do Canal da Mancha, em direção à Inglaterra.

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Os aeronautas estavam, sem saber, participando de um experimento que alteraria o curso da física matemática. Quase duas décadas depois, um cientista quaker chamado Lewis Fry Richardson encontrou uma tabulação de seus locais de pouso no The Aeronautical Journal enquanto estudava os efeitos do clima turbulento. Ele representou graficamente os dados do balão, juntamente com dados que ele mesmo havia coletado sobre o movimento das cinzas após uma erupção vulcânica e as trajetórias das sementes de dente-de-leão levadas pelo vento.

Em cada caso, ele observou o mesmo padrão: o turbilhão turbulento da atmosfera terrestre, tanto em escalas grandes quanto pequenas, espalhava objetos com uma eficiência impressionante. Richardson escreveria uma lei geral sobre como o processo funciona, uma lei que os matemáticos ainda lutam para provar mais de 100 anos depois.

A turbulência é um dos maiores mistérios da ciência moderna. As equações que modelam o fluxo de fluidos — de rios a correntes de ar — datam de dois séculos e funcionam bem quando um fluido se move suavemente. Mas quando o fluxo se torna turbulento, o fluido se divide em redemoinhos e turbilhões, que por sua vez desenvolvem redemoinhos menores. O padrão continua em escalas cada vez menores até que colisões moleculares eventualmente impeçam a formação de redemoinhos. Esses turbilhões de tamanhos diferentes influenciam uns aos outros, tornando impossível usar as equações para modelar o comportamento do fluido. Simplesmente não podemos saber o que uma determinada partícula no fluido — ou, digamos, um pato de borracha jogado em um rio caudaloso — fará em seguida.

Ao coletar dados e simular fluidos em computadores, os físicos conseguiram inferir algumas das qualidades da turbulência. Mas os matemáticos frequentemente não conseguem comprovar essas afirmações. O mistério matemático da turbulência está no cerne de um Problema do Prêmio do Milênio de US$ 1 milhão, um dos maiores desafios da matemática.

Richardson formulou outra afirmação sobre turbulência. Ele formulou a hipótese de que, se você jogar dois patos de borracha no rio, eles serão levados cada vez mais longe, muito mais rápido do que você poderia esperar. Algo na interação de todos esses redemoinhos e espirais dará aos patos um impulso especial.

Hoje, esse espalhamento intensificado, conhecido como superdifusão, é visto como uma característica da turbulência. Mas, até recentemente, não havia sido comprovado rigorosamente — mesmo em modelos altamente simplificados de fluidos.

Isso finalmente mudou no ano passado. Pela primeira vez, três matemáticos provaram que partículas lançadas em um fluido turbulento simplificado de fato apresentam superdifusão: elas se espalham de forma previsível, mas anormalmente rápida.

"Acredito que isso se provará um dos aspectos mais importantes para a matemática da turbulência", disse Vlad Vicol, matemático do Instituto Courant da Universidade de Nova York, que não participou do trabalho.

Mas para Scott Armstrong, matemático do Instituto Courant e um dos autores do novo artigo, o resultado vai muito além da turbulência. Na última década, ele vem divulgando o potencial de uma técnica matemática complexa. Ele afirma firmemente que ela é muito mais poderosa do que os matemáticos imaginam — uma afirmação que foi recebida com ceticismo por muitos de seus colegas. Agora, tendo usado a técnica para lidar com a turbulência, ele espera começar a mudar mentalidades.

Mas a homogeneização geralmente só funciona sob premissas muito rigorosas. O ruído em pequena escala precisa estar dentro de certos limites — não pode ser muito extremo. Isso limita a utilidade da homogeneização: os matemáticos a aplicam apenas para analisar as representações mais simples de sistemas físicos.

Armstrong, no entanto, viu na homogeneização uma beleza e um potencial que outros não viam. Ele acreditava que, se aprimorasse a técnica, ela poderia ser usada em ambientes muito mais ruidosos e mais próximos da realidade. "Sempre pensei que, eventualmente, isso se aplicaria a muitos problemas", disse ele. "Que seria uma ideia importante se eu conseguisse fazê-la realmente funcionar."

Mas primeiro ele precisava de um caso de teste. Queria usar a homogeneização para provar algo que ninguém imaginava que ela pudesse resolver — um problema com o qual os físicos matemáticos se importavam.

Foi aí que a turbulência entrou.

Richardson havia levantado a hipótese de que, em um fluido turbulento, a energia transportada pelos vórtices maiores alimenta vórtices ligeiramente menores, e assim por diante até a menor escala, onde a energia é transformada em calor pelo atrito entre as moléculas do fluido. Ele resumiu a ideia em uma rima: "Grandes vórtices têm pequenos vórtices que se alimentam de sua velocidade, e pequenos vórtices têm vórtices menores e assim por diante até a viscosidade."

Esse processo, conjecturou Richardson, deveria fazer com que a distância entre os dois patos jogados no rio aumentasse de acordo com uma equação simples, onipresente na física clássica, chamada difusão. Só que, nesse caso, a cascata de energia dos vórtices maiores para os menores aumentaria a taxa desse crescimento — de modo que, em um fluido turbulento, os patos exibiriam o que mais tarde seria chamado de superdifusão.

Mas, como acontece com tantos fenômenos turbulentos, os matemáticos não conseguiram provar isso.

E assim, no final da década de 1980, um grupo de físicos simplificou o cenário. Eles criaram um modelo simplificado de um fluido turbulento idealizado. Esse fluido ainda exibia os redemoinhos e vórtices característicos da turbulência, mas era regido por equações muito mais simples. A equipe então fez a mesma pergunta que Richardson havia feito: se eles jogassem partículas sólidas (ou patos) nesse fluido imaginário, com que rapidez elas se dispersariam?

Os pesquisadores conjecturaram, assim como Richardson, que as partículas apresentariam superdifusão, embora a uma taxa diferente da que apresentariam em fluidos reais. Eles determinaram essa taxa usando uma técnica da física chamada renormalização. Mas a renormalização é notoriamente carente de rigor — o renomado físico Richard Feynman a chamou de "hocus-pocus" — embora frequentemente forneça a resposta correta. Os matemáticos só conseguiram tornar a renormalização rigorosa em alguns cenários, disse Jeremy Quastel, da Universidade de Toronto. "O problema é que é uma ideia muito vaga", disse ele.

E assim, embora os matemáticos tenham conseguido provar outras afirmações sobre como as partículas se espalham no fluido idealizado pelos físicos, eles não conseguiram provar sua conjectura sobre a superdifusão. Por décadas, parecia que qualquer pessoa que estudasse turbulência tinha uma escolha — ou usar argumentos vagos e vagos para fazer conjecturas fortes, como a equipe de físicos fez, ou se ater à matemática rigorosa e provar coisas com uma fração da significância.

A menos que, pensou Armstrong, ele conseguisse que a homogeneização colocasse a explicação da renormalização dos físicos em bases matemáticas mais sólidas.

Passo a Passo

Para mostrar que as partículas no fluido turbulento se espalhariam a uma taxa suficientemente rápida — obtendo aquele impulso extra de energia das interações dos vórtices do fluido — Armstrong primeiro precisava ter uma noção melhor de como seria essa propagação.

Era aí que ele esperava introduzir a homogeneização: mostrar que, em escalas maiores, aspectos do comportamento do fluido poderiam ser descritos com equações simples que, por sua vez, lhe informariam a taxa de difusão das partículas. Outros matemáticos tinham suas dúvidas. Pesquisadores já haviam tentado usar a homogeneização para resolver problemas relacionados à turbulência, mas nunca haviam chegado muito longe. Então, quando Armstrong mencionou seu objetivo, ele lembrou: "eles disseram que eu não conseguia provar".

Mas ele não desistiu. Ele se uniu a seu colaborador de longa data, Tuomo Kuusi, um matemático da Universidade de Helsinque — "Estou quase casado com ele. Quer dizer, como você descreveria seu melhor amigo?", disse Armstrong — juntamente com Ahmed Bou-Rabee, seu pesquisador de pós-doutorado na Courant. Os três matemáticos se propuseram a fortalecer a homogeneização para que ela atuasse como uma versão rigorosa do argumento original da renormalização.

Eles começaram imaginando uma grade muito fina sobreposta ao fluido. Em seguida, calcularam quanto tempo as partículas permaneciam em cada quadrado da grade, em média. Em alguns quadrados, o fluido agia como um rio caudaloso: as partículas tendiam a se mover em linha reta pelo quadrado, permanecendo ali apenas um breve período de tempo. Em outros quadrados, pequenos redemoinhos podiam empurrar as partículas, desacelerando-as.

O problema era que os números calculados pelos matemáticos podiam diferir muito de quadrado para quadrado — revelando precisamente o tipo de desordem em pequena escala que geralmente impedia os matemáticos de usar a homogeneização.

Armstrong, Bou-Rabee e Kuusi precisavam encontrar uma maneira de contornar isso.

Ordenando a Desordem

Os matemáticos esperavam mostrar que, em escalas ligeiramente maiores do que a capturada por sua grade, o comportamento do fluido seria um pouco menos ruidoso e desordenado. Se conseguissem fazer isso, seriam capazes de usar técnicas típicas de homogeneização para entender o que estava acontecendo na escala maior.

Mas outros matemáticos acreditavam que, mesmo se conseguissem analisar essas escalas intermediárias pequenas, o fluido apenas pareceria mais ruidoso. Antes que as coisas se tornassem mais suaves, os vórtices se fundiriam e interagiriam de maneiras ainda mais complexas. Tentar mostrar o contrário seria uma tarefa inútil.

A equipe decidiu tentar mesmo assim. Eles começaram desenhando uma grade ligeiramente mais grosseira, na qual cada quadrado englobava vários quadrados do original. Vórtices menores que viviam em quadrados separados da grade original poderiam agora ser agrupados, alterando o tempo médio que uma partícula passava no novo quadrado. Ou comportamentos mais complexos poderiam surgir.

A equipe calculou novamente quanto tempo as partículas permaneceram em cada quadrado e o quanto os números associados aos quadrados adjacentes poderiam diferir. Isso exigiu um esforço meticuloso: eles tiveram que acompanhar como o comportamento do fluido em cada quadrado mudaria e como isso alteraria o movimento provável de uma partícula. Eles então mostraram que, nessa grade mais grosseira, os números adjacentes tendiam a diferir em quantidades menores.

Eles fizeram isso para grades cada vez mais grosseiras, até mostrarem que, em uma escala maior — embora ainda relativamente pequena —, o fluido parecia bom o suficiente para que eles pudessem usar a homogeneização típica. "Você tem que repetir esse procedimento, que por si só era totalmente novo, infinitas vezes", disse Vicol. "O fato de eles terem conseguido fazer isso foi, de uma perspectiva matemática, realmente insano." Foram necessárias mais de 300 páginas de cálculos e demonstrações, e os matemáticos levaram quase dois anos.

"Foi uma experiência muito intensa", disse Bou-Rabee. "Havia muitas manhãs de sábado em que acordávamos às 6h, íamos para o escritório trabalhar e repetíamos no dia seguinte."

Mas, assim que conseguiram aplicar o conjunto usual de técnicas de homogeneização, obtiveram informações suficientes sobre o fluido em grandes escalas para saber que duas partículas sólidas lançadas nele se espalhariam de acordo com a equação de difusão. O trio então avaliou a taxa dessa difusão e descobriu que era exatamente o que os físicos haviam conjecturado décadas antes.

Eles provaram a conjectura da superdifusão.

Uma Visão de Longo Prazo

O resultado, que os matemáticos dividiram em dois artigos diferentes, fornece a primeira compreensão matemática rigorosa de uma peculiaridade dos fluidos turbulentos: a maneira como eles espalham partículas com uma eficiência impressionante. É a primeira prova do tipo de fenômeno que Richardson observou há um século na distribuição de entusiastas de balões pela Europa. "Não se obtém resultados definitivos como esse com frequência", disse Quastel. "Estou bastante impressionado — muitas pessoas estão bastante impressionadas."

Armstrong, por sua vez, vê o trabalho como uma confirmação de suas ambições de homogeneização. "Ninguém esperava que saíssemos da nossa zona de conforto tão cedo", disse ele. "Então, a ideia de que viríamos e começaríamos a resolver problemas em outros domínios usando esses métodos, não havia sinal disso."

Antti Kupiainen, matemático da Universidade de Helsinque, concordou. "Acho ainda mais importante que eles tenham um novo método, uma nova maneira de abordar esses problemas", disse ele. Na turbulência da vida real — que o fluido simplificado da conjectura modelou apenas no sentido mais grosseiro — as escalas interagem de maneiras mais fortes e complexas, levando a um comportamento superdifusivo mais extremo. Talvez a técnica de Armstrong, Bou-Rabee e Kuusi possa ajudar os pesquisadores a explorar questões relacionadas para modelos mais realistas de turbulência, bem como outros problemas.

Afinal, a renormalização é usada em toda a física para dar sentido a sistemas que exibem comportamentos diferentes em escalas distintas. Armstrong espera que suas técnicas possam ser adaptadas para comprovar afirmações também em alguns desses contextos — incluindo a física de partículas, a área de estudo onde a renormalização foi desenvolvida pela primeira vez.

"Sinto que há tantas possibilidades em aberto no momento", disse Kuusi. "Acho que esta é a última vez que isso vai acontecer comigo na vida, e agora vou aproveitar a experiência."

História original republicada com permissão da Quanta Magazine, uma publicação editorialmente independente apoiada pela Simons Foundation. Leia o conteúdo original em New 'Superdiffusion' Proof Probes the Mysterious Math of Turbulence

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