Matemático dos EUA resolve enigma de 50 anos
Um trapézio foi a chave para descobrir resposta para problema sobre 'Fitas de Möbius'
Um enigma matemático de 50 anos pode ter sido finalmente resolvido. A questão foi formulada pelos estudiosos Charles Sidney Weaver e Benjamin Rigler Halpern, em 1977. Nela, os pesquisadores questionavam: “Qual é a tira de papel mais curta necessário para fazer uma ‘Fita de Möbius’?”.
As chamadas 'Fitas de Möbius' são objetos matemáticos curiosos e bem simples de se fazer, na verdade. Para construir um, basta pegar uma tira de papel, torcer uma vez e colar as pontas com fita adesiva. Contudo, os detalhes das formas é o alvo dos estudos.
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Os autores do problema, Halpern e Weaver, propuseram um tamanho mínimo para criar uma 'Fita', mas não chegaram a conseguir provar a teoria, que foi batizada de “Halpern-Weaver”. Contudo, um matemático norte-americano chamado Richard Evan Schwartz parece ter conseguido solucionar a dúvida. A informação foi publicada pela revista Scientific American no início do mês de setembro.
Essa não foi a primeira vez que Schwartz tentou solucionar o enigma. Em dezembro de 2021, o matemático publicou um artigo no site arXiv, porém, deixou escapar um erro. Agora, neste novo estudo, ele corrigiu e parece ter resolvido o mistério de uma vez por todas.
Em um artigo publicado em agosto deste ano, no mesmo site de sua primeira tentativa, Richard provou a conjectura de “Halpern-Weaver” mostrando que: 'Fitas de Möbius' embutidas feitas de papel só podem ser construídas com uma proporção maior que √3, que é cerca de 1,73. Por exemplo, se a tira tiver um centímetro de largura, ela deverá ter mais de √3 cm.
O caminho até a descoberta
O matemático revelou conhecer o problema há apenas quatro anos, quando foi apresentado a ele por um colega do ramo, Sergei Tabachnikov, ao ler sobre o assunto em um livro escrito por Sergei. “Eu li um capítulo e fui fisgado”, conta.
Para resolver o dilema, era necessária criatividade matemática. Quando se utiliza uma abordagem padrão para esse tipo de problema, “é sempre difícil distinguir, por meio de fórmulas, entre superfícies que se auto intersectam e que não se intersectam”, disse Dmitry Fuchs, matemático da Universidade da Califórnia à Scientific American. “Para superar essa dificuldade, é preciso ter a visão geométrica [de Schwartz]. Mas é tão raro!”
“Rich conseguiu dissecar o problema em partes manejáveis, cada uma das quais necessitava essencialmente apenas de geometria básica para ser resolvida”, diz Max Wardetzky, matemático da Universidade de Göttingen, na Alemanha. “Esta abordagem às provas incorpora uma das formas mais puras de elegância e beleza.”
Antes de chegar à estratégia bem-sucedida, no entanto, Schwartz tentou outras táticas ao longo dos anos de estudo. Recentemente, ele decidiu revisitar o problema devido à sensação incômoda de que a abordagem que usou em um artigo de 2021 deveria ter funcionado.
Seu pressentimento estava certo. Quando tentou novamente, notou um erro em um “lema” - resultado intermédio - envolvendo um “padrão T” em seu artigo anterior. Corrigindo o erro, alcançou o resultado. “Se não fosse por esse erro, eu teria resolvido isso há três anos”, diz Schwartz.
O resultado
Para chegar à solução para o enigma de “Halpern-Weaver”, o lema do padrão T é um componente essencial. O lema começa com uma ideia básica: “'Fitas de Möbius' têm essas linhas retas. Elas são chamadas de 'superfícies regradas'", explica.
Outros objetos de papel compartilham essa propriedade. “Sempre que você tem papel no espaço, mesmo que esteja em alguma posição complicada, ainda assim, em cada ponto, há uma linha reta através dele”, observa Schwartz. "Você pode imaginar desenhar essas linhas retas de modo que eles cruzem a banda de Möbius e atinjam a fronteira em cada extremidade".
Em seu trabalho anterior, Schwartz identificou duas linhas retas perpendiculares entre si e também no mesmo plano, formando um padrão T em cada fita de Möbius. “Não é nada óbvio que estas coisas existam”, diz Schwartz. "Mostrar isso foi a primeira parte da prova do lema".
O próximo passo foi configurar e resolver um problema de otimização, que envolvia cortar uma banda de Möbius em um ângulo, em vez de perpendicular ao limite, ao longo de um segmento de linha que se estendia pela largura da banda e, então, considerar a forma resultante. Para esta etapa, no artigo de 2021 de Schwartz, ele concluiu incorretamente que esta forma era um paralelogramo. Na verdade, é um trapézio.
Percebendo o erro, o matemático ficou atordoado e resolveu refazer os cálculos. “O cálculo corrigido me deu um número que era o enigma”, conta. “Fiquei pasmo. Passei os três dias seguintes quase sem dormir, apenas escrevendo”.
E, finalmente, o problema foi resolvido. “Vejo a matemática como um trabalho conjunto da humanidade”, resume. “Gostaria que pudéssemos dizer a Möbius, Listing e Gauss: 'Vocês começaram e, agora, olhem para isso!' Talvez em algum céu matemático eles estejam lá, olhando para nós e pensando: 'Oh, meu Deus!'”
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