Matemática: uma descoberta ou uma criação da mente humana?
A matemática surge como uma ponte entre a mente humana e a realidade, oscilando entre a invenção humana e a verdade eterna que aguarda ser descoberta.
A importância da questão que dá título a este artigo tem um impacto direto na matemática, mas também determina como entendemos a realidade e, em última instância, como concebemos nosso próprio pensamento.
As raízes da controvérsia remontam à Grécia clássica, há 2.500 anos, onde o apogeu da filosofia grega ocorreu graças à matemática. Desde então, o fascinante é que ambas as posições contaram com intelectuais de primeira linha ao longo da história.
O princípio de tudo: a Escola de Pitágoras
O primeiro a traçar este caminho foi o matemático e filósofo grego Pitágoras de Samos (570-495 a.C.).
Além de cunhar o termo philosophia, ele propôs uma ideia revolucionária: tudo é feito de relações matemáticas: o kosmos, a harmonia musical e até mesmo conceitos abstratos como a justiça. Ele defendia que os números eram puros, fixos e eternos. E acreditava que eles eram o caminho para acessar uma ordem oculta da existência (independente do ser humano).
Para seguir Pitágoras, um círculo de aproximadamente 500 homens e mulheres (é a escola conhecida mais antiga em que as mulheres tinham um papel intelectual ativo) formaram uma comunidade secreta: a escola pitagórica.
Aristóteles, embora divergisse da visão desse grupo de fiéis, reconheceu seu trabalho em Metafísica:
"Foram as primeiras pessoas a cultivar a matemática. Não apenas a fizeram avançar, mas, alimentando-se dela, acreditaram que seus princípios eram os princípios de todos os seres".
Para Pitágoras e sua escola, o importante não era a matemática como ferramenta, mas como ontologia (como um ser). Não é que os números "servissem" para descrever o mundo; é que eram o mundo. Uma ideia que evoluiu com o platonismo matemático.
Platão e a realidade eterna do número
O filósofo grego Platão — cujo nome verdadeiro era Aristocles (427-347 a.C.)— herda o conhecimento pitagórico, embora reestruture a ontologia do número seguindo sua famosa teoria dualista: mundo sensível e mundo inteligível. Por exemplo, em seu diálogo mais conhecido, A República, ele apresenta a geometria como aquilo que "existe eternamente" (no mundo inteligível).
Em Menón, ele mostra como um jovem escravo "resolve" um problema matemático graças à maieutica socrática: fazer "nascer" um conhecimento a partir de perguntas. Assim, Platão honra tanto Pitágoras quanto seu mentor, Sócrates, ao sugerir que as verdades matemáticas não são aprendidas, mas existem de forma inata na mente humana e emergem por meio da reminiscência.
No Timeu (livro que leva o nome de um pitagórico), o filósofo sustenta que a matéria possui uma estrutura geométrica fundamental, formada por figuras regulares que mais tarde ficariam conhecidas como sólidos platônicos. Suas propriedades tornam essas formas únicas: existem apenas cinco.
Os sólidos platônicos (assim chamados por terem sido descritos pela primeira vez no Timeu de Platão) caracterizam-se por serem poliedros convexos formados por faces regulares congruentes, com o mesmo número de faces em cada vértice e uma simetria máxima. Com essas características, só é possível a existência de 5 poliedros. Para Platão, eles representavam os quatro elementos (tetraedro = fogo; hexaedro = terra; octaedro = ar; icosaedro = água) e o Universo (dodecaedro). Wikipedia, CC BY-NC-ND
Posteriormente, os sólidos platônicos foram procurados na natureza. Hoje sabemos que eles se encontram, por exemplo, em cristais, vírus, organismos unicelulares, gases e aglomerados de galáxias.
Exemplos de sólidos platônicos observados na natureza. Da esquerda para a direita: tetraedro representado por uma molécula de metano (CH₄), cubo de pirita (FeS₂), octaedro de fluorita (CaF₂), dodecaedro representado pelo fulereno C₂₀ (uma forma molecular estável do carbono) e icosaedro representado pela circogonia Icosahedra (uma espécie de protista, um organismo eucariótico unicelular). Embora não sejam as únicas estruturas do mundo físico, sua recorrência em sistemas tão distintos revela princípios de simetria e estabilidade compartilhados. Elaboração dos autores.
Euclides e Newton: pontos de uma mesma reta
O polímata que descreveu com precisão os sólidos platônicos foi Euclides de Alexandria (séculos IV e III a.C.), e ele o fez na obra matemática mais influente de todos os tempos: Elementos. Com ela, nasce a geometria euclidiana.
Nessa compilação de 13 livros também aparece a mensagem de que a geometria oferece um caminho para as verdades atemporais. Para Euclides, os postulados (proposto 5) e os axiomas dos quais se derivam os teoremas não são inventados, mas sim universalmente considerados verdadeiros (embora o postulado 5 relacionado às linhas paralelas tenha sido contestado).
Muitos séculos depois, Isaac Newton (1643-1727) utilizou a matemática para estabelecer as bases da física e da astronomia modernas com sua obra mais famosa: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
Em suas páginas, Newton demonstrou elegantemente que os movimentos do Cosmos podiam ser previstos por meio de cálculos.
Com isso, ele apoiou Galileu, que sustentava que "o livro da natureza está escrito em termos matemáticos".
Um exemplo disso é a sucessão de Fibonacci: ela é encontrada em muitas flores, na distribuição das folhas ao longo do caule em todos os principais grupos de plantas terrestres (filotaxia) e no corpo humano. Há quem acredite que a espiral áurea associada a essa sequência também esteja presente na concha do molusco do gênero Nautilus, mas isso é um mito.
A matemática está presente em grande parte das plantas, que otimizam a captação de luz e a distribuição de recursos utilizando o que conhecemos como ângulo áureo (137,5°). Graças a isso, elas desenvolvem um crescimento equilibrado e eficiente.
Em resumo, os objetos matemáticos se consolidam como idealizações adequadas para abordar o conhecimento da natureza. Poderíamos dizer que Euclides e Newton, juntamente com Platão, compõem o triângulo pitagórico perfeito onde a matemática é "descoberta".
Poincaré e Einstein percorrem a perpendicular
A virada conceitual ocorre no final do século XIX e início do século XX. O polímata francês Henri Poincaré (1854-1912) defendia que se escolhem umas geometrias em detrimento de outras não porque sejam "verdadeiras" em sentido absoluto, mas porque simplificam nossa descrição do mundo.
Essa ideia se torna especialmente poderosa com o desenvolvimento das geometrias não euclidianas, que mostraram que o famoso quinto postulado de Euclides não era uma necessidade lógica. O espaço podia ser concebido de múltiplas maneiras coerentes. A geometria, portanto, já não descrevia o espaço, mas sim espaços possíveis.
O matemático Henri Poincaré sustentava que os princípios matemáticos fundamentais, especialmente os geométricos, não são verdades descobertas nem arbitrárias. Em sua obra Ciência e Hipótese, ele afirmou: 'Os axiomas geométricos não são nem juízos sintéticos a priori nem fatos experimentais. São convenções', uma tese que questionava diretamente a filosofia do conhecimento proposta por Immanuel Kant. Essa postura afeta diretamente o quinto postulado de Euclides, segundo o qual, por um ponto exterior a uma reta, só pode ser traçada uma paralela. Ao adotar geometrias alternativas, esse postulado deixa de ser válido. Por exemplo, na geometria elíptica, a partir de um ponto exterior a uma reta, não é possível traçar nenhuma paralela, pois todas se intersectam em dois pontos. Da mesma forma, nas geometrias não euclidianas, o teorema de Pitágoras já não é válido em sua formulação clássica. Wikipedia, CC BY-NC-SA
O físico alemão Albert Einstein (1879-1955) levou essa concepção até suas últimas consequências. Na Relatividade Geral, o espaço-tempo deixa de ser um cenário rígido e euclidiano para se tornar uma entidade dinâmica e curva, descrita por meio da geometria riemanniana (assim chamada em homenagem ao matemático alemão Bernhard Riemann). A gravidade já não é uma força newtoniana, mas o efeito geométrico dessa curvatura. Paradoxalmente, uma matemática desenvolvida sem aplicação física direta acabou se tornando a linguagem mais precisa para descrever a estrutura do Universo.
Einstein apontou uma tensão fundamental: a matemática é extraordinariamente eficaz, mas sua relação com o mundo não é direta. Ela não reflete a realidade tal como ela é, mas sim como podemos formalizá-la.
Inventar para descobrir com Zenão
Descobrir e inventar são dois verbos que remetem a concepções ontológicas irredutíveis. Descobrir pressupõe que os entes matemáticos existem independentemente do sujeito que os pensa, enquanto inventar faz com que sua existência dependa do ato humano de conceituar, nomear e formalizar.
Voltemos brevemente à Grécia clássica. O paradoxo da dicotomia de Zenão de Eleia (século V a.C.) afirmava que o movimento parece impossível, e essa dificuldade conceitual perdurou por séculos. Mas a "invenção" matemática das séries infinitas permitiu mostrar que a soma desses passos infinitos converge para uma distância finita. Assim, embora essa ferramenta tenha sido uma criação humana, por meio dela "descobre-se" uma propriedade real do movimento, ilustrando assim a relação entre invenção e descoberta na matemática.
Portanto, a matemática provavelmente habita nesse ponto intermediário. Não inventamos a realidade, mas sim as linguagens com as quais a interpretamos. E a matemática é, talvez, essa linguagem refinada que nossa mente criou para explorar regularidades e conferir coerência ao que observamos.
Os autores não prestam consultoria, trabalham, possuem ações ou recebem financiamento de qualquer empresa ou organização que se beneficiaria deste artigo e não revelaram qualquer vínculo relevante além de seus cargos acadêmicos.
Este artigo foi publicado no The Conversation Brasil e reproduzido aqui sob a licença Creative Commons
