O infinito existe apenas na matemática?

Em uma recente entrevista, o físico e divulgador científico francês Christophe Galfard, aluno do próprio Stephen Hawking, afirmou que "o Universo que observamos com os telescópios é finito. O infinito só existe na matemática".

Pode parecer uma afirmação um tanto controversa e, até mesmo, ousada, para alguém que se dedica à ciência. Embora também seja verdade que, em nossa vida cotidiana, usamos a palavra infinito talvez com demasiada leveza.

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O infinito do cotidiano

Muitos de nossos leitores e leitoras, pais e mães de adolescentes, certamente demonstram uma paciência infinita com eles (ou talvez sejam eles com a gente, quem sabe?). Quando uma reunião comunitária ou de trabalho se torna entediante, dizemos que ela pareceu infinita. E o que me dizem das esperas infinitas ao telefone para falar com uma pessoa e não com um chatbot quando ligamos para um atendimento ao cliente? Até mesmo Toy Story nos lembrou que devemos ir "ao infinito e além".

Normalmente, quando usamos essa palavra, nos referimos a algo extraordinariamente grande, um número gigantesco. Em matemática, no entanto, isso não é exatamente assim.

O infinito na matemática

O infinito matemático não é um número, é um conceito. Todos sabemos contar: 1, 2, 3… Para isso, usamos os números, que em matemática chamamos de números naturais. Mas você saberia me dizer qual é o último número que conhece? Na verdade, trata-se de uma pergunta capciosa, pois assim que um número muito grande passar pela sua mente, se você somar "mais um", já terá outro ainda maior.

Dessa perspectiva, poderíamos dizer que existem infinitos números (os gregos clássicos — principalmente Aristóteles — afirmariam que "há mais números do que qualquer quantidade — finita — que possamos imaginar"). O filho de uma boa amiga — a grande divulgadora e matemática Clara Grima — disse, com apenas 9 anos, que "o infinito é aquilo que vocês, matemáticos, inventaram quando se cansaram de contar".

A verdade é que a frase não poderia ser mais acertada. Pois uma coisa é uma coleção de objetos (ou números) ser ilimitada e outra é dizermos que há infinitos desses objetos. Essa forma de pensar traz inúmeros problemas… que Aristóteles já previu quando introduziu o conceito de infinito potencial e infinito atual.

O primeiro é sinônimo do ilimitado: há mais objetos do que qualquer quantidade que você possa imaginar. Essa ideia se encaixa na nossa lógica. Nosso cérebro está preparado para aceitá-la. Com o infinito atual, no entanto, é outra história. É aquele salto mortal que precisamos dar para dizer que existem "infinitos números". Pois, se aceitarmos dizer que o conjunto dos números naturais é infinito, então começam a acontecer "coisas estranhas". A primeira é tentar responder a esta pergunta: o que existe em maior quantidade, números naturais ou números pares?

A resposta mais provável que nos vem à cabeça é que há "o dobro de números naturais do que de pares". Tem certeza?

Os tamanhos do infinito

Imagine que colocamos os números naturais em uma gaveta e os pares em outra. Da primeira gaveta, pego um número natural. Depois, procuro o dobro dele na segunda gaveta e os coloco juntos. Se assumirmos que esse processo termine em algum momento, acontece que ambas as gavetas ficam vazias ao mesmo tempo. Se, em vez de números, fossem colheres e garfos o que houvesse em cada gaveta… com certeza diríamos que há a mesma quantidade de ambos. Pois com os números acontece a mesma coisa.

Estranho, não é? Mas a história não termina aqui. No final do século XIX, um matemático alemão, Georg Cantor, demonstrou que, aceitando plenamente o infinito atual, não existe um único infinito, mas muitos. Quantos? Mais do que qualquer quantidade que possamos imaginar.

Com seu argumento da diagonalização, Cantor demonstrou que o infinito dos números naturais, aqueles que servem para contar, é menor do que o infinito que surge ao contar os pontos que existem em um segmento, o contínuo.

E a partir daí, a loucura… tanto do infinito quanto de seu criador, pois Cantor morreu após sofrer episódios recorrentes de depressão e internações em institutos psiquiátricos. É que suas ideias revolucionárias foram duramente criticadas por alguns matemáticos da época, incluindo um de seus professores em Berlim, Leopold Kronecker, que chegou a escrever que Cantor era um "charlatão" e que suas ideias eram "mais próprias de um circo" do que da matemática.

O infinito nos dias de hoje

Hoje todos elogiamos a obra de Cantor e celebramos o momento em que ele criou "o paraíso infinito do qual ninguém será capaz de nos expulsar", como bem disse o matemático David Hilbert em 1925.

Assim, o infinito passou a ser mais um conceito da matemática. Não é um número, não é uma distância… é a forma que nós, matemáticos, encontramos de ir além de nossa mente, sem enlouquecer, e trabalhar com ele.

Sem o infinito, não teríamos o cálculo infinitesimal, por exemplo. Após sua descoberta simultânea pelos grandes gênios Isaac Newton e Gottfried Leibniz, essa ferramenta chegou ao seu estado atual graças ao conceito de limite, que nada mais é do que a ideia de nos aproximarmos o quanto quisermos, mas sem tocar. E, graças ao cálculo infinitesimal e às suas poderosas ferramentas (as equações diferenciais), conseguimos desde controlar o comportamento de um elétron até nos aventurarmos a pisar na Lua ou enviar uma sonda além dos limites do nosso Sistema Solar.

Mas será que realmente existem coisas infinitas?

Tudo o que foi dito acima pode ser resumido da seguinte forma: o infinito é a conceituação do muito grande (ou do muito pequeno). Não é um número nem uma distância. É um conceito que podemos esticar e esticar… e levá-lo o mais longe que pudermos.

Na matemática, os limites são impostos apenas pela nossa imaginação. Na física — a matemática aplicada à vida real —, no entanto, existem limitações próprias do nosso Universo.

Por esse motivo, para encontrar algo verdadeiramente infinito no Universo em que vivemos, basta procurar em um lugar muito específico: a mente de um matemático.

O infinito pode não existir na realidade, mas seu estudo pela matemática é essencial para compreender o mundo que nos rodeia: do extremamente grande ao incrivelmente pequeno. Coisas da ciência básica…

José Antonio Prado Bassas não presta consultoria, trabalha, possui ações ou recebe financiamento de qualquer empresa ou organização que poderia se beneficiar com a publicação deste artigo e não revelou nenhum vínculo relevante além de seu cargo acadêmico.