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Paul Cohen, o matemático que criou 'novos mundos' ao resolver um problema

Ao tentar provar a hipótese do contínuo, o americano teve sucesso onde muitos já haviam fracassado. Sua descoberta extraordinária foi um marco deste campo do conhecimento.

6 mar 2021
19h47
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Paul Cohen estava em busca de um infinito nem tão grande, nem tão pequeno
Paul Cohen estava em busca de um infinito nem tão grande, nem tão pequeno
Foto: BBC News Brasil

Em 1900, em uma sala de conferência da Universidade de Sorbonne, em Paris, um alemão chamado David Hilbert propôs aos presentes uma tarefa matemática, provavelmente a mais difícil da história.

Não eram, como costumava ser, exercícios para aprendizado: eram perguntas que não tinham resposta — ainda.

Hilbert era um dos palestrantes do Congresso Internacional de Matemáticos, e a tarefa que ele propôs foi uma lista do que ele considerava ser os 23 problemas mais importantes a serem resolvidos.

A lendária lista, conhecida como "os problemas de Hilbert", definiu a matemática da era moderna.

Muitos foram resolvidos, outros não, mas tanto as tentativas bem-sucedidas quanto as fracassadas levaram ao desenvolvimento de uma matemática muito profunda ao longo do caminho.

No topo da lista estava uma questão que havia sido deixada no ar por uma das mentes mais brilhantes da história: Georg Cantor, o matemático que se propôs a conquistar o infinito.

Sua inclusão foi polêmica, uma vez que muitos rejeitavam na época os mundos abstratos que Cantor apresentava. Hilbert, porém, era um dos que o apoiavam.

Infinitos

Cantor foi a primeira pessoa a compreender verdadeiramente o significado do infinito — e a dar a ele precisão matemática.

Antes dele, o infinito era um conceito complicado e escorregadio que, de fato, não parecia ir a lugar nenhum.

Cantor mostrou que o infinito pode ser perfeitamente compreendido e que, na verdade, não havia apenas um infinito, mas muitos.

Ele provou que o infinito dos números inteiros (1, 2, 3, 4 ...) era menor do que o dos decimais infinitos (0,0000149000...; 0,179249239...).

Assim, abriu as portas para um imenso e desconcertante território a ser explorado no qual se contava infinitos. E Cantor explorou isso incansavelmente, resolvendo muitas questões ao longo do caminho.

Mas havia uma que ele não conseguia resolver, por mais que tentasse, que ficou conhecida como a hipótese do contínuo.

Haverá um infinito entre o menor dos números inteiros e o maior dos decimais?

Essa foi a primeira pergunta da tarefa que Hilbert deu a seus colegas na conferência de 1900 na Sorbonne.

Uma descoberta extraordinária

Cinco décadas depois, nos Estados Unidos, um jovem decidiu encarar alguns dos principais problemas matemáticos.

Ao longo da adolescência, Cohen foi considerado um prodígio da matemática
Ao longo da adolescência, Cohen foi considerado um prodígio da matemática
Foto: BBC News Brasil

Desde pequeno, Paul Cohen ganhou concursos e prêmios de matemática, mas a princípio teve dificuldade de descobrir um campo da matemática em que pudesse realmente deixar sua marca... até que leu sobre a hipótese do contínuo de Cantor.

Até então, todas as tentativas de resolver o problema, incluindo a do próprio Hilbert, haviam fracassado.

O único que conseguiu chegar perto da linha de chegada foi o matemático e filósofo austríaco Kurt Gödel, membro do Instituto de Estudos Avançados (IEA) de Princeton, nos Estados Unidos.

Com o ímpeto da juventude, Paul Cohen, aos 22 anos, colocou na cabeça que conseguiria. Um ano depois, apareceu com uma descoberta extraordinária.

Havia um infinito maior do que o conjunto de todos os números inteiros, mas menor do que o conjunto dos decimais?

Sem dúvida, havia um infinito maior que o outro, mas haveria outro entre eles?
Sem dúvida, havia um infinito maior que o outro, mas haveria outro entre eles?
Foto: Getty Images / BBC News Brasil

Sim e... não. Ambas as respostas podem ser verdadeiras. Mas como assim?

A hipótese do contínuo dizia que não havia um infinito no meio desses dois infinitos. Cohen mostrou que havia uma matemática na qual a hipótese podia ser considerada verdadeira.

Mas havia outra forma igualmente consistente de matemática em que a mesma hipótese podia ser considerada falsa: nesse âmbito, havia um conjunto infinito entre o dos inteiros e o dos decimais.

Era uma solução incrivelmente ousada, e a demonstração apresentada por Cohen parecia verdadeira e correta, mas seu método era tão novo que ninguém tinha certeza absoluta.

Havia apenas uma pessoa em cuja opinião todos confiavam: Gödel.

Gödel não havia conseguido demonstrar que a hipótese do contínuo era realmente verdadeira, mas provou que era consistente, o que significa que, com os métodos matemáticos disponíveis, não era possível provar que era falsa.

Ele havia percorrido um longo caminho e chegado até a porta atrás da qual estava a solução. E embora não tivesse sido capaz de abri-la, era ele quem podia confirmar se Cohen havia alcançado efetivamente o que se propôs a fazer.

Selo de aprovação

Gödel verificou a demonstração e a declarou correta.

"Você acaba de fazer o progresso mais importante na teoria dos conjuntos desde sua axiomatização", escreveu ele a Cohen em uma carta. "Sua demonstração é a melhor possível", acrescentou ele em outra. "Lê-la é como ler o livreto de uma peça realmente boa".

Com o selo de aprovação de Gödel, tudo mudou. Hoje em dia, os matemáticos inserem uma declaração que indica se o resultado depende da hipótese do contínuo.

É que foram construídos dois mundos matemáticos diferentes — nos quais em um a resposta é sim, e no outro, não.

Agora, se alguém se pergunta se Paul Cohen abalou o universo matemático, a única resposta é sim.

*Parte deste artigo é baseado na série da BBC The Story of Maths com o matemático Marcus du Sautoy.

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